Skip to content
Skip to main navigation
Skip to first column
Skip to second column

Go On One . com.ความรู้เพื่อคนไทย..

เรียนคณิตศาสตร์ ด้วย VDO ทำแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ออนไลน์ เรียนคอมพิวเตอร์เบื้องตัน และนานาสาระความรู้เพื่อคนไทย

หน้าแรก => ฟังก์ชั่น => โดเมน ( Domain) และ เรนจ์ ( Range ) ของความสัมพันธ์

โดเมน ( Domain) และ เรนจ์ ( Range ) ของความสัมพันธ์

Tuesday, 10 January 2012 19:57 admin2

E-mail

Print

PDF

โดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์

	โดเมน ( Domain) และ เรนจ์ ( Range ) ของความสัมพันธ์ โดเมน ของความสัมพันธ์ ได้แก่ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ ทั้งหมด ในความสัมพันธ์นั้น กล่าวคือ พิกัด x ทั้งหมดที่ยอมรับได้ เขียนแทนด้วย $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r} &=& \left \{ x\mid(x,y )\, \epsilon\, r \right \}\end{array}$ เรนจ์ ของความสัมพันธ์ ได้แก่ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมด ของความสัมพันธ์นั้น กล่าวตือพิกัด y ทั้งหมดที่ยอมรับได้ เขียนแทนด้วย $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}R_{r} &=& \left \{ y \mid(x,y )\, \epsilon\, r \right \}\end{array}$ อ่านแล้ว ถ้าพูดเป็นภาษาที่เข้าใจ ง่าย ๆ เราอาจจะกล่าวได้ว่า เมื่อ เรามีความสัมพันธ์ของคู่อันดับ ( x, y ) โดเมน คือ ความสัมพันธ์ ตัวแรกทั้งหมด และ เรนจ์ คือ ความสัมพันธ์ ตัวหลังทั้งหมด
	ตัวอย่าง โดเมน และ เรนจ์ ตัวอย่างที่ 1 $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (1,p ),(2,q )(3,r ),(4,s )\right \} \end{array}$ จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์ วิธีทำ จากนิยาม ความสัมพันธ์ของคู่อันดับ ( x, y ) โดเมน คือ ความสัมพันธ์ ตัวแรกทั้งหมด เรนจ์ คือ ความสัมพันธ์ ตัวหลังทั้งหมด $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r}&=& \left \{ 1,2,3,4\right \} \end{array}$ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}R_{r}&=& \left \{ p,q,r,s\right \} \end{array}$
	ตัวอย่างที่ 2 $\color{Blue}\Large\begin{array}{rcl}y &=& \left \{ (x,y)\, \epsilon\, I\times I \mid y =3x+ 4 \right \} \end{array}$ จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์
	วิธีทำ อธิบาย จากโจทย์ เราทราบว่า คู่อันดับ x และ y เกิดจากจำนวนนับ คูณจำนวนนับ ดังนั้น เมื่อเราต้องการทราบค่า ของ โดเมน เราดูสมการ ในรูป ของ y จะได้ y = 3x + 4 สังเกตุ เมื่อเราแทนค่า x ด้วย จำนวน นับ เช่น 1,2,3,4,.... เราจะได้ ค่าของ y ที่ได้ จะมีค่าเป็นจำนวนนับด้วย เช่น x = 1 แทนค่า y = ( 3 x 1) + 4 = 7 x = 2 แทนค่า y = ( 3 x 2 )+ 4 = 10 x = 3 แทนค่า y = ( 3 x 3 )+ 4 = 13 .. ......... สรุป ได้ว่า เมื่อเราแทนค่าของ x เป็นจำนวนนับได้ค่า y เป็นจำนวนนับ โดเมน เป็น จำนวนนับ (I) $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r} &=& \left \{ x\mid x\, \epsilon\, I \right \}\end{array}$ เรนจ์ เป็น จำนวนนับ (I) $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}R_{r} &=& \left \{ y\mid y\, \epsilon\, I \right \}\end{array}$
	ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (x,y)\mid y= \sqrt{x-9} \right \}\end{array}$ จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์
	วิธีทำ อธิบาย จากโจทย์ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (x,y)\mid y= \sqrt{x-9} \right \}\end{array}$ เรามามองให้ออกก่อนดีไหม ว่า " ค่าที่มีอยู่ในรากนั้นจะเป็นค่าที่ถอดรากออกมาได้นั้นต้องมีค่ามากกว่าศูนย์ จริงไหม " ดังนั้นเรามาดูค่าที่อยู่ในราก ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}x-9 &\geq & 0 \\\\x &\geq & 9 \end{array}$ เราจะได้ โดเมน $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r} &=& \left \{ x\mid x\geq 9 \right \}\end{array}$ " เมื่อเราแทนค่า x ในสมการ ค่า y ที่ได้ ก็จะเป็นค่าที่ได้ จากการถอดราก ค่าที่ได้ มากกว่าศูนย์เสมอ " ดังนั้น เรนจ์ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}y &\geq & 0\\\\R_{r} &=& \left \{ y\mid y\geq 0 \right \}\end{array}$
	ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (x,y)\mid y= \sqrt{16-x} \right \}\end{array}$ จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์
	วิธีทำ อธิบาย จากโจทย์ เรามาดูค่าที่อยู่ในราก ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ดังนั้น เราจะได้ว่า $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}16-x &\geq & 0 \\\\-x &\geq & -16\\\\x &\leq & 16 \end{array}$ เราจะได้ โดเมน $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r} &=& \left \{ x\mid x \leq 16 \right \}\end{array}$ " เมื่อเราแทนค่า x ในสมการ ค่า y ที่ได้ ก็จะเป็นค่าที่ได้ จากการถอดราก ค่าที่ได้ มากกว่าศูนย์เสมอ " ดังนั้น เรนจ์ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}y &\geq & 0\\\\R_{r} &=& \left \{ y\mid y\geq 0 \right \}\end{array}$
	ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (x,y)\mid y= \sqrt{x^{2}-4} \right \}\end{array}$ จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์
	วิธีทำ อธิบาย จากโจทย์ เรามาดูค่าที่อยู่ในราก ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}x^{2} - 4 &\geq & 0 \\\\(x-2)( x+2) &\geq & 0\end{array}$ เราแก้อสมการ จะได้ กรณีเป็นสมการ พิจารณา x+ 2 = 0 ได้ x = -2 และ x- 2 = 0 ได้ x = 2 นำมาวาดรูปตามวิธีแก้อสมการ ดังนั้น เราเลือกค่าของอสมการที่มีค่า เป็นบวกคือมากกว่าศูนย์จะได้ เราจะได้ โดเมน $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r} &=& \left \{ x\mid x \leq -2 \, \, \cup \, \, x\geq 2 \right \}\end{array}$ " เมื่อเราแทนค่า x ในสมการ ค่า y ที่ได้ ก็จะเป็นค่าที่ได้ จากการถอดราก ค่าที่ได้ มากกว่าศูนย์เสมอ " ดังนั้น เรนจ์ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}y &\geq & 0\\\\R_{r} &=& \left \{ y\mid y\geq 0 \right \}\end{array}$
	ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (x,y)\mid y= \sqrt{25- x^{2}} \right \}\end{array}$ จงหาโดเมน และ เรนจ์ ของความสัมพันธ์
	วิธีทำ อธิบาย จากโจทย์ เรามาดูค่าที่อยู่ในราก ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}25- x^{2} &\geq & 0 \\\\- x^{2}+25 &\geq & 0 \\\\x^{2}- 25 &\leq & 0 \\\\(x-5)( x+5) &\leq & 0\end{array}$ เราแก้อสมการ จะได้ กรณีเป็นสมการ พิจารณา x+ 5 = 0 ได้ x = -5 และ x- 5 = 0 ได้ x = 5 นำมาวาดรูปตามวิธีแก้อสมการ ดังนั้น เราเลือกค่าของอสมการที่มีค่า เป็นลบคือน้อยกว่าศูนย์จะได้ เราจะได้ โดเมน $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r} &=& \left \{ x\mid -5 \leq x \, \, \leq 5 \right \} {\color{Red} = [-5 \leq x \, \, \leq 5 ]}\end{array}$ " เมื่อเราได้โดเมนเป็นช่วง [- 5, 5 ] จะเห็นได้ว่า ถ้า x = 0 แทนค่าในสมการ ค่า y ที่ได้ y = 5 เป็นค่าสูงที่สุดของเรนจ์ ดังนั้น เรนจ์ ก็จะเป็นค่าอยู่ในช่วง มากกว่าศูนย์ และ น้อยกว่าหรือเท่ากับ ห้า $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}R_{r} &=& \left \{ y\mid 0 \leq y \, \, \leq 5 \right \} {\color{Red} = [0,5 ]}\end{array}$
	กรณีความสัมพันธ์อยู่ในรูปเศษส่วน เราจะกล่าวในเทอมทั่วไป เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็ม เมื่อ 1. $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (x,y)\mid y= \frac{a}{bx+c} \right \}\end{array}$
	เมื่อเราดูที่สมการ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}y &=& \frac{a}{bx+c}\end{array}$ เรามองในภาพรวม คือเศษส่วนตัวหนึ่ง ดังนั้นเรารู้ได้ทันทีว่า ตัวส่วน bx + c ต้องไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น เราจะหาโดเมน จาก $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}bx + c &\neq & 0 \\\\bx &\neq & -c \\\\x &\neq & -\frac{c}{b}\end{array}$ การหาเรนจ์ เราสามารถหาได้โดยเขียนสมการให้อยู่ในรูปของ x จาก $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}y &=& \frac{a}{bx+c} \\\\bx+c &=& \frac{a}{y} \\\\bx&=& \frac{a}{y}- c \\\\bx&=& \frac{a-cy}{y}\\\\x&=& \frac{a-cy}{by}\end{array}$ เราจะเห็นได้ว่า ค่าของ y ที่เกิดจากสมการ จะหาค่าได้ ค่าของ y ต้องไม่เท่ากับศูนย์ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r} &=& \left \{ x\mid x \neq \frac{-c}{b} \right \}\\\\R_{r} &=& \left \{ y\mid y \neq 0 \right \}\end{array}$
	2. $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}r &=& \left \{ (x,y)\mid y= \frac{ax}{bx+c} \right \}\end{array}$
	เมื่อเราดูที่สมการ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}y &=& \frac{ax}{bx+c}\end{array}$ เรามองในภาพรวม คือเศษส่วนตัวหนึ่ง ดังนั้นเรารู้ได้ทันทีว่า ตัวส่วน bx + c ต้องไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น เราจะหาโดเมน จาก $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}bx + c &\neq & 0 \\\\bx &\neq & -c \\\\x &\neq & -\frac{c}{b}\end{array}$ การหาเรนจ์ เราสามารถหาได้โดยเขียนสมการให้อยู่ในรูปของ x จาก $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}y &=& \frac{ax}{bx+c} \\\\bx+c &=& \frac{ax}{y} \\\\bx - \frac{ax}{y}&=& - c \\\\\frac{bxy - ax}{y}&=& - c \\\\\frac{x(by - a)}{y}&=& - c \\\\x &=& \frac{- cy}{by-a} \end{array}$ ดังนั้น เราจะได้ สมการในรูปของตัวแปร x เมื่อเราดูที่สมการ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}x &=& \frac{- cy}{by-a} \end{array}$ อยู่ในรูปเศษส่วนดังนั้น ตัวส่วน ต้องไม่เท่ากับศูนย์ เราจะได้ $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}by - a &\neq & 0 \\\\bx &\neq & a \\\\y &\neq & -\frac{a}{b}\end{array}$ เราสรุปได้ว่า $\color{Blue}\large\begin{array}{rcl}D_{r} &=& \left \{ x\mid x \neq \frac{-c}{b} \right \}\\\\R_{r} &=& \left \{ y\mid y \neq \frac{a}{b} \right \}\end{array}$
	ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

Last Updated on Tuesday, 31 January 2012 03:39

Main Menu

VDO Math problem

Key Concepts

Vinaora Visitors Counter

mod_vvisit_counter

mod_vvisit_counter

mod_vvisit_counter

mod_vvisit_counter

mod_vvisit_counter

mod_vvisit_counter

mod_vvisit_counter

	Today	182
	Yesterday	6003
	This week	11519
	Last week	25078
	This month	60423
	Last month	60274
	All days	1645727

Online (20 minutes ago): 22
Your IP: 38.107.179.223
,
Today: May 21, 2012

Visitors Counter

เว็บเพื่อนบ้าน

histats

page range

Check PageRank

Who's Online

We have 48 guests online

ผู้สนับสนุน

Login Form

ชอบเรา กดปุ่มถูกใจ บน Facebook

ผู้สนับสนุน

คลังข้อสอบ

ขอเชิญทุกท่าน ร่วมกันสร้าง คลังข้อสอบ คณิตศาสตร์ ออนไลน์

เพื่อเด็กไทยทุกคนได้ใช้ประโยชน์

โดยสามารถส่งข้อสอบเก่าของท่านมาที่ paa.charit@gmail.com

________________________________________________________________________________

ลิขสิทธิ์ © 2010 GoOnOne.com

Our site is valid CSS

Our site is valid XHTML 1.0 Transitional