การให้เหตุผลแบบอุปนัย ม.4 พื้นฐาน กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 2.1

ในบทนี้ เรา เรียนรู้ ในเรื่อง การให้เหตุผลแบบอุปนัย โดย ศึกษาจากแบบฝึกหัด

การให้เหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง วิธีสรุปผลในการ ค้นหาความจริง

จากการสังเกต หรือการทดลองหลาย ๆ ครั้ง จากกรณีย่อย

แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป นอกจากนั้นยังมี การให้เหตุผลแบบอุปนัย

โดยใช้วิธีการของเกาส์ ในบทนี้ อธิบายโจทย์ เรื่องการให้เหตุผลแบบอุปนัย

อย่างเป็น อย่างเป็นขั้นตอน พร้อมวีดีโอ

 

โจทย์เรื่อง การให้เหตุผลแบบอุปนัย แบบฝึกหัด 1.2 และวีดีโอ 

การให้เหตุผลแบบอุปนัย

สามารถเปิดโดยการ คลิก ที่แถบแนวนอน เพื่อดูเนื้อหาในแต่ละแถบได้ทันที

 

 

1.  พิจารณาแบบรูปของจำนวนที่กำหนดให้

แล้วใช้การให้เหตุแบบอุปนัย หาว่า a คือจำนวนใด

       

 

 

1.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย 

1.2 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย 

1.3 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย 

1.4 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

1.5 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

1.6 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

1.7 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

1.8 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

1.9 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

1.10 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

 

  

1.  พิจารณาแบบรูปของจำนวนที่กำหนดให้

 

แล้วใช้การให้เหตุแบบอุปนัย หาว่า a คือจำนวนใด

 

 1.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ 

 

         การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.1

 

                       a  =   52

 

  1.2 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย      

 

วิธีทำ

 

    การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.2

 

   1.3 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

         การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.3

 

   1.4 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

   การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.4

 

               การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.4-2

 

   1.5 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

   การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.5

 

                 การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.5-2

 

   1.6 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

           การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.6

 

   1.7 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

            การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.7

 

   1.8 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

      การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.8

 

   1.9 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

       การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.9

 

   1.10 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

         การให้เหตุผลแบบอุปนัย -1.10

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 

 

 2. พิจารณาผลคูณที่กำหนดให้ต่อไปนี้ มีข้อสังเกตอย่างไรเกี่ยวกับตัวคูณ

และผลคูณ และสามารถให้ข้อสรุปได้หรือไม่

 

             2.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 


 

  

2. พิจารณาผลคูณที่กำหนดให้ต่อไปนี้ มีข้อสังเกตอย่างไรเกี่ยวกับตัวคูณ

 

และผลคูณ และสามารถให้ข้อสรุปได้หรือไม่

 

       2.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

  จากโจทย์  มีการคูณ ตัวคูณ คือ 9 นำไปคูณ กับเลขโดด 

 

  ได้จำนวนที่เป็น การเพิ่มขึ้น เป็นจำนวนเท่า ของ 9    เช่น

 

   2 x 9  =  18      หรือเท่ากับ  9 + 9  =  18 

 

   3 x 9  =  27      หรือเท่ากับ  9 + 9 + 9  =  27 

 

   4 x 9  =  36      หรือเท่ากับ  9 + 9 + 9 + 9 = 36

 

   ในทำนองเดียวกัน

 

        เมื่อนำ   9  หาร    18     ก็ได้ลงตัว เท่ากับ     2  

 

        เมื่อนำ   9  หาร    27     ก็ได้ลงตัว เท่ากับ     3  

 

        เมื่อนำ   9  หาร    36     ก็ได้ลงตัว เท่ากับ     4

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 3. พิจารณาผลคูณของจำนวนต่อไปนี้

         3. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

 1) มีข้อสังเกตเกี่ยวกับตัวเลขที่แทนจำนวนที่เป็นผลคูณอย่างไร
 

2) ผลคูณของ 142,857 กับ 5 และ 6 มีรูปแบบเดียวกับ

ข้อสรุปข้างต้นหรือไม่

3) ผลคูณที่ได้จากการคูณ 142,857 ด้วย 7 และ  8 โดยใช้ข้อสรุป

ข้างต้นยังเป็นจริงหรือไม่

 


 

3. พิจารณาผลคูณของจำนวนต่อไปนี้

  

     3. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

1) มีข้อสังเกตเกี่ยวกับตัวเลขที่แทนจำนวนที่เป็นผลคูณอย่างไร

 

          การคูณในแต่ละครั้ง เป็นการคูณด้วยเลขโดด 1,2,3,...

 

          ทำให้เกิดตัวเลขของผลคูณ  

 

          มี     2 , 8 ,5, 7, 1 , 4 เรียงสลับกันไป

 

2) ผลคูณของ 142,857 กับ 5 และ 6 มีรูปแบบเดียวกับ

ข้อสรุปข้างต้นหรือไม่

 

         142,857 x 5       =      714,285

 

         142,857 x 6       =      857,142

 

        สรุปเมื่อมีการคูณ 5 และ 6 ได้ แบบรูปคงเดิม

 

3) ผลคูณที่ได้จากการคูณ 142,857 ด้วย 7 และ  8 โดยใช้ข้อสรุป

ข้างต้นยังเป็นจริงหรือไม่

 

      142,857    x   7     =     999,999  

 

      142,857    x   8     =   1,142,856 

 

สรุป ไม่เป็นจริง

 

เมื่อมีการคูณ 7 และ 8 ได้ แบบรูปไม่เป็นไปตามที่กำหนดมา

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 

 

 4.  พิจารณาผลคูณต่อไปนี้  

                   4. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย


1) มีข้อสังเกตอย่างไรเกี่ยวกับตัวคูณและผลคูณข้างต้น

2) ใช้ในการให้เหตุผลแบบอุปนัย เพื่อหาผลคูณที่ได้ผลคูณเป็น

 


  

4.  พิจารณาผลคูณต่อไปนี้                  

 

          4. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

1) มีข้อสังเกตอย่างไรเกี่ยวกับตัวคูณและผลคูณข้างต้น

 

วิธีทำ

 

        เมื่อนำ 37 มาคูณด้วย เลขโดดที่หารด้วย 3 ลงตัว เช่น 3, 6, 9, ..

 

        จำนวนผลคูณ เพิ่มขึ้น ทีละ 111 

 

2) ใช้ในการให้เหตุผลแบบอุปนัย เพื่อหาผลคูณที่ได้ผลคูณเป็น

 

         555, 666, 777, 888, 999

 

วิธีทำ

 

        4.2 การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

สรุป เป็นจริง

 

        เมื่อมีการคูณ 15, 18, 21, 24, 27 ได้

 

        แบบรูปคงเดิม เป็นไปตามที่กำหนดมา

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 

 

 5.  จากแบบรูป ของสมการที่กำหนดให้ จงหา สมการถัดไป โดยใช้

การให้เหตผลแบบอุปนัย และตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบ

โดยการคำนวณ

 

 


  

5.  จากแบบรูป ของสมการที่กำหนดให้ จงหา สมการถัดไป โดยใช้

 

การให้เหตผลแบบอุปนัย และตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบ

 

โดยการคำนวณ

 

 5.1

 

   5.1. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

การให้เหตุผลแบบอุปนัย -5.1

 

   เป็นจริง

 

5.2    

 

       5.2. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย 

 

วิธีทำ

 

 การให้เหตุผลแบบอุปนัย -5.2

 

เป็นจริง

 

5.3

 

               5.3. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

การให้เหตุผลแบบอุปนัย - 5.3

 

เป็นจริง

 

5.4               

 

                  5.4. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

    การให้เหตุผลแบบอุปนัย - 5.4

 

เป็นจริง

 

5.5           

 

            5.5. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

 

การให้เหตุผลแบบอุปนัย - 5.5

 

        เป็นจริง 

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 

 

 6.    นักคณิตศาสตร์ชาวเยอมันชื่อ คาร์ลฟรีดริช เกาส์

       (Carl Fredrich Guss ค.ศ. 1777 - 1855)

       ได้หาผลบวกของจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 100 ซึ่งเท่ากับ  5,050 

       โดยใช้วิธีการดังนี้ 

 

          6. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

              เกาส์ สังเกตว่า จำนวนทั้งหมด  50 จำนวน

   ดังนั้นเขาจึงหาคำตอบโดยหาผลคูณ 50 x 101 ซึ่งเท่ากับ 5,050

              จงใช้วิธีการของเกาส์ในตัวอย่างข้างต้นหาผลบวกต่อไปนี้

 

 

 


 

6.     นักคณิตศาสตร์ชาวเยอมันชื่อ คาร์ลฟรีดริช เกาส์

 

       (Carl Fredrich Guss ค.ศ. 1777 - 1855)

 

       ได้หาผลบวกของจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 100 ซึ่งเท่ากับ  5,050 

 

       โดยใช้วิธีการดังนี้ 

 

         6. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

              เกาส์ สังเกตว่า จำนวนทั้งหมด  50 จำนวน

 

   ดังนั้นเขาจึงหาคำตอบโดยหาผลคูณ 50 x 101 ซึ่งเท่ากับ 5,050

 

         จงใช้วิธีการของเกาส์ในตัวอย่างข้างต้นหาผลบวกต่อไปนี้

 

   6.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

วิธีทำ 

 

     6.1 การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

   ใช้วิธีการของเกาส์

 

      ดังนั้น  151  จับคู่ได้ทั้งหมด 

 

              150 / 2          =      75  จำนวน

 

      คำตอบของผลบวก เท่ากับ 

 

              151   x   75    =   11,325  

 

   6.2 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

วิธีทำ

 

     6.2 การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

   ใช้วิธีการของเกาส์

 

         ดังนั้น  301  จับคู่ได้ทั้งหมด

 

                 300 / 2             =      150   จำนวน

 

         คำตอบของผลบวก เท่ากับ

 

                 301    x   150    =   45,150

 

   6.3 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์  

 

วิธีทำ

 

    6.3 การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

ใช้วิธีการของเกาส์

 

              ดังนั้น  501  จับคู่ได้ทั้งหมด

 

                 500 / 2           =       250    จำนวน

 

              คำตอบของผลบวก เท่ากับ

 

                501   x   250     =  125,250

 

   6.4 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์   

 

วิธีทำ

 

     6.4 การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

   ใช้วิธีการของเกาส์

 

       ดังนั้น 1001 จับคู่ได้ทั้งหมด

 

                1000 / 2             =    500       จำนวน

 

      คำตอบของผลบวก เท่ากับ

 

                1001   x   500      =   500,500

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 

 

 

 7.  จงใช้วิธีของเกาส์ในข้อ 6 เพื่อหาผลบวกต่อไปนี้

7.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

7.2 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

7.3 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

 

 

 

7.  จงใช้วิธีของเกาส์ในข้อ 6 เพื่อหาผลบวกต่อไปนี้

  

   7.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

วิธีทำ

 

         7.1 การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

ใช้วิธีการของเกาส์

 

          ดังนั้น  102  จับคู่ได้ทั้งหมด

 

                   50 / 2           =    25    จำนวน

 

คำตอบของผลบวก เท่ากับ

 

                  102   x   25    =   2,550

 

    7.2 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

วิธีทำ

 

               7.2 การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

                                 ใช้วิธีการของเกาส์

 

     ดูให้เข้าใจกันก่อน

 

     125  เป็นเลขคี่ จับคู่ไม่ได้หมด   เหลือเศษ 1 ตัว  คือ   125

 

     ดังนั้นเราใช้ 1 จนถึง 124 ในการจับคู่ ได้ 124 /2 =  62  คู่

 

     เราต้องการผลรวม 1 + 2 ...+124  +  125

 

                  ดังนั้น  จากวิธีของเกาส์ หาผลบวก เท่ากับ

 

                  ( 126  x  62 )  + 125  =   7875

 

    7.3 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

   เมื่อ n  เป็นจำนวนคี่

 

วิธีทำ

 

           7.3 การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ วิธีการของเกาส์

 

 คิดให้เข้าใจ ภาษาชาวบ้าน ง่ายกัน ก่อน

 

 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่  ดังนั้น เวลาจับคู่ เหลือเศษ ตัวสุดท้าย อีก 1 ตัว

 

 เช่น   1 + 2 + 3 + 4 .....    + 9 + 10 +11  

 

     เมื่อต้องการผลบวกของทุกจำนวน ต้องนำมาจับคู่  ได้

 

     จับคู่ได้   5 คู่  เศษ  1 ตัว คือ  11

 

     ในข้อนี้      มี  ทั้งหมด ( n - 1) / 2  คู่  บวกกับเศษ อีก 1 ตัวคือ  n

 

 ใช้วิธีการของเกาส์ หาผลบวกทั้งหมด

 

  ผลรวมของแต่ละคู่เท่ากับ              n 

 

  มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับ(คู่)     ( n - 1) / 2

 

  จะได้      n (n-1)/2 บวก กับเศษที่เหลือเนื่องจากเป็นจำนวนคี่ คือ n

 

              n (n-1)/2  +  n   เป็นคำตอบ

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 

 

8.  ชาวกรีกโบราณ เขียนแสดงจำนวน 1, 3, 6, 10, 15, 21 

โดยใช้สัญญลักษณ์ดังนี้   

            8. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ จำนวนสามเหลี่ยม (Trigangular numbers)

เรียกจำนวนที่สามารถเขียนในลักษณะข้างต้นว่า จำนวนสามเหลี่ยม  (triangle numbers) 

ใช้การสังเกตจากแบบรูปของสามเหลี่ยมข้างต้น ตอบคำถามต่อไปนี้

 1) จงเขียนสามเหลี่ยมที่อยู่ถัดไปจาก 21 อีก สองจำนวน

2) จงอธิบายวิธีการเขียนสามเหลี่ยม โดยการแทนด้วยจุดว่า

    แต่ละรูปมีความสัมพันธ์กันอย่างไร

3) 72 เป็นจำนวนสามเหลี่ยมหรือไม่

 

 

 

  

8.  ชาวกรีกโบราณ เขียนแสดงจำนวน 1, 3, 6, 10, 15, 21

 

โดยใช้สัญญลักษณ์ดังนี้   

 

     8. โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ จำนวนสามเหลี่ยม (Trigangular numbers)

 

เรียกจำนวนที่สามารถเขียนในลักษณะข้างต้นว่า จำนวนสามเหลี่ยม

 

(triangle numbers) 

 

ใช้การสังเกตจากแบบรูปของสามเหลี่ยมข้างต้น ตอบคำถามต่อไปนี้

 

1) จงเขียนสามเหลี่ยมที่อยู่ถัดไปจาก 21 อีก สองจำนวน

 

วิธีทำ

    8.1 การให้เหตุผลแบบอุปนัยโดยใช้ จำนวนสามเหลี่ยม (Trigangular numbers)

 

2) จงอธิบายวิธีการเขียนสามเหลี่ยม โดยการแทนด้วยจุดว่า

แต่ละรูปมีความสัมพันธ์กันอย่างไร

 

วิธีทำ  จากการลองวาดดู พบว่าเมื่อเราเพิ่มจุด

ในเต่ละแถว ทีละ 1 ทุกแถว จะเกิด   จำนวนสามเหลี่ยม (Triangular numbers)

 

3) 72 เป็นจำนวนสามเหลี่ยมหรือไม่

 

วิธีทำ  วาดดูนะครับ  ข้อนี้  72 ไม่เป็นสามเหลี่ยม Triangular numbers

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 

 

 9.  จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยในการตรวจสอบข้อสรุปต่อไปนี้
1) ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนใด ๆ จะหารด้วย 2 ลงตัวเสมอ 

2) จำนวนนับใด ๆ ที่มากกว่า 4 จะเขียนในรูปการบวก ของจำนวนนับที่ 

เรียงติดกันสองจำนวน หรือมากกว่า สองจำนวนได้เสมอ 

เช่น  

         5 = 2 + 3 , 

         6 = 1 + 2 + 3 ,

       14 = 2 + 3 + 4 + 5  เป็นต้น

3)  กำลังสองของจำนวนนับใด ๆ จะเป็นจำนวนคู่เสมอ

 

 

 

  9.  จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยในการตรวจสอบข้อสรุปต่อไปนี้

  

1) ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนใด ๆ จะหารด้วย 2 ลงตัวเสมอ 

 

ตอบ    ไม่จริง  7 x 7 = 49  ลองหาร 2 ไม่ลงตัวนะครับ

 

2) จำนวนนับใด ๆ ที่มากกว่า 4 จะเขียนในรูปการบวก ของจำนวนนับที่

 

เรียงติดกันสองจำนวน หรือมากกว่า สองจำนวนได้เสมอ 

 

เช่น  

 

         5 = 2 + 3 , 

 

         6 = 1 + 2 + 3 ,

 

       14 = 2 + 3 + 4 + 5  เป็นต้น

 

วิธีทำ

 

ไม่จริง

 

  เช่น  8     ลองดู ซักหน่อยได้เห็น Idea

 

   8 ≠  1 + 2 + 3 + 4    ไม่ได้

 

   8 ≠  2 + 3 + 4          ไม่ได้ 

 

   8 ≠  3 + 4 + 5          ไม่ได้

 

3)  กำลังสองของจำนวนนับใด ๆ จะเป็นจำนวนคู่เสมอ

 

ตอบ

 

    ไม่จริง   เช่น  9 ยกกำลัง สอง ได้  81 

 

    ถ้าจะให้จริงต้อง

 

    กำลังสองของจำนวนนับใด ๆ ได้ค่าเป็นบวกเสมอ อัน นี้น่าจดจำ

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK

 

 

 10.  จากแบบรูปที่กำหนดให้ จงเขียนอยู่ถัดไป
10.1    10.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย
 10.2   10.2 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

 

 

10.  จากแบบรูปที่กำหนดให้ จงเขียนอยู่ถัดไป

10.1 10.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

  

10.1

    10.1 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

                 10.1  การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

10.2

   10.2 โจทย์ การให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

วิธีทำ

        10.2  การให้เหตุผลแบบอุปนัย

  ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน FACEBOOK