อสมการสองตัวแปร

กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 3.3.2การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

.ในแบบฝึกหัดนี้เป็น การแก้สมการกำลังสอง โดยได้ทำการแก้สมการ โดยแยกตัวประกอบพหุนาม และ

แสดงวิธีทำอย่างละเอียด เพื่อง่ายต่อการค้นคว้า และเข้าใจในการเก้สมการ และทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

และการแก้สมการกำลังสองพหุนาม โดยการใช้วิธีของ พีทาโกลัส และมีโจทย์ประยุกต์ การใช้วิธี พีทาโกลัส

 

1.   จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้โดยการแยกตัวประกอบ    
 
  1. x2+7x+10       =  0       
   

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

              x2+7x+10   = 0    ***1

     ( x + 5 )( x + 2 )   = 0

  จะได้ว่า       ( x + 5 )   = 0        ; x = -5

                 ( x + 2 )   = 0        ; x = -2

            คำตอบของสมการ คือ   -5 , -2 

 

 

 

  2. x2+8x+12   =   0      
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

วิธีทำ

                      x2+8x+12  = 0

             ( x + 6 )( x + 2 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (x + 6 )  =  0     ; x = -6

หรือ         (x + 2 )  =  0     ; x = -2

            คำตอบของสมการ คือ   -6 , -2

เป็นคำตอบของสมการ     x2+8x+12  = 0

 

 

 

 

 

 

 

  3. x2-3x-18     =   0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                        x2-3x-18 = 0

 

             ( x - 6 )( x + 3 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (x - 6 )  =  0      ; x =   6

หรือ         (x + 3 )  =  0     ; x = - 3

            คำตอบของสมการ คือ      6 , -3

เป็นคำตอบของสมการ  x2-3x-18 = 0

 

 

 

 

 

 

  4. x2-6x-16     =   0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ 

                        x2 - 6x - 16 = 0

                ( x - 8 )( x + 2 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (x + 6 )  =  0     ; x =  6

หรือ         (x + 2 )  =  0     ; x = -3

            คำตอบของสมการ คือ   6 , - 3

เป็นคำตอบของสมการ   x2 - 6x - 16 = 0

 

 

 

 

 

 

  5. x2 + 5x - 24     =    0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                   x2 + 5x - 24   = 0

              ( x + 8 )( x - 3 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (x + 8 )  =  0     ; x =  -8

หรือ         (x - 3)  =  0      ; x =   3

            คำตอบของสมการ คือ   -8,  3

 เป็นคำตอบของสมการ    x2  + 5x - 24  = 0

 

 

 

 

   

 

  6. x2 + x - 30     =   0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

วิธีทำ

                   x2 + x - 30     = 0

               ( x + 6 )( x - 5 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (x + 6 )  =  0      ; x =  -6

หรือ         (x - 5)   =  0      ; x =   5

            คำตอบของสมการ คือ   -6,  5

 เป็นคำตอบของสมการ x2+ x - 30    = 0

 

 

 

 

 

  
  7. x2- 14x + 48     =   0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

              x2- 14x + 48   =  0

          ( x - 6 )( x - 8 )   =  0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (x - 6 )  =  0      ; x =  6

หรือ         (x - 8)   =  0      ; x =   8

            คำตอบของสมการ คือ   6,  8

 เป็นคำตอบของสมการ   x2- 14x + 48 = 0 

 

  

  8. 21 - 10x + x2        =     0     
  

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 วิธีทำ

                     x2- 10x -21   =  0

               ( x - 7 )( x - 3 )   =  0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (x - 7 )  =  0      ; x =  7

หรือ         (x - 3)   =  0      ; x =   3

            คำตอบของสมการ คือ   7,  3

 เป็นคำตอบของสมการ      x2- 10x -21  =  0

 

 

 

  
  9. 2 + x - x2    =    0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                      - x2 +x + 2 =  0

              ( x - 7 )( x - 3 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (x - 7 )  =  0      ; x =  7

หรือ         (x - 3)   =  0      ; x =   3

            คำตอบของสมการ คือ   7,  3

  เป็นคำตอบของสมการ   - x2 +x + 2 =  0

 

  

  10. 2x2+7x+3      
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

วิธีทำ

                          2x2+7x+3  = 0

               ( 2x + 1 )( x + 3 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (2x + 1 )  =  0      ; x =  - 1/2

หรือ         (x + 3)   =  0      ; x =   - 3

            คำตอบของสมการ คือ  - 1/2 ,  - 3

 เป็นคำตอบของสมการ         2x2+7x+3=  0

 

 

 

 

 

  
  11. 3x2+7x+2      =   0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                         3x2+7x+2   =  0

               (3x + 1 )( x + 2  )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (3x + 1 )      =  0      ; x =   - 1/3

หรือ         ( x + 2  )     =  0      ; x =   - 2

            คำตอบของสมการ คือ    - 1/3   ,  - 2

  เป็นคำตอบของสมการ      3x2+7x+2   =  0

 

 

 

     

  12. 5x2+ 13x + 6        =    0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

วิธีทำ

                         5x2+ 13x + 6   =  0

                ( 5x  + 3  )( x  + 2 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (5x  + 3 )  =  0       ; x =    - 3/5

หรือ         (x  + 2 )   =  0        ; x =    - 2

            คำตอบของสมการ คือ      - 3/5 ,   - 2

  เป็นคำตอบของสมการ      5x2+ 13x + 6   =  0

 

 

 

   

 

  13. 7x2+ 3x - 4       =    0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                      7x2+ 3x - 4    =   0

               ( 7x - 4  )( x + 1 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  ( 7x - 4 )  =  0      ; x =      4/7

หรือ          (x + 1 )   =  0      ; x =   -1

            คำตอบของสมการ คือ     4/7  ,   - 1

  เป็นคำตอบของสมการ      7x2+ 3x - 4    =   0

 

 

   

  14. 9x2+12x+4       =   0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                         9x2+12x+4      =   0

               ( 3x  + 2 )( 3x  + 2  )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (3x  + 2 )  =  0      ; x   =  - 2/3

หรือ         (3x  + 2)   =  0      ; x   =  - 2/3

            คำตอบของสมการ คือ      - 2/3 ,   - 2/3

  เป็นคำตอบของสมการ     9x2+12x+4      =   0

 

 

   

  15. 4x2+8x+3     =   0      
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                               4x2+8x+3   =  0

               ( 2x  +  1 )( 2x  + 3  )  =  0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (2x  +  1)  =  0       ; x =     - 1/2

หรือ         (2x  + 3 )   =  0      ; x =    - 3/2

            คำตอบของสมการ คือ      - 1/2 ,    - 3/2 

  เป็นคำตอบของสมการ       4x2+8x+3   =  0

 

 

 

  
  16. 4x2+ 16x + 5  = 0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                         4x2+ 16x + 5  = 0

               ( 2x  + 5 )( 2x  + 3 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า    ( 2x  + 5 )   =  0      ; x =    - 5/2

หรือ           ( 2x  + 3 )   =  0      ; x =   - 3/2

            คำตอบของสมการ คือ     - 5/2  ,    - 3/2

  เป็นคำตอบของสมการ    4x2+ 16x + 5  = 0

 

  

  17. x2 - 9   = 0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

วิธีทำ

                                x2 - 9   = 0

               ( x - 3  )( x  +  3 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า   (x  -  3 )  =  0      ; x =   3

หรือ         (x  + 3 )   =  0      ; x =  -3

            คำตอบของสมการ คือ    3  , - 3  

  เป็นคำตอบของสมการ         x2 - 9   = 0

 

  

  18. 25 - x2  =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

วิธีทำ

                                 25 - x2  =  0

               ( 5  - x  )( 5  +  x  )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  ( 5  -  x  )   =  0      ; x =      5

หรือ         ( 5  +  x )   =  0      ; x =    - 5

            คำตอบของสมการ คือ     5   ,  - 5

  เป็นคำตอบของสมการ    25 - x2  =  0

 

    

  19. 9x2 - 16      = 0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                             9x2 - 16      = 0

              ( 3x  - 4  )( 3x  + 4  )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (3x  - 4 )   =  0      ; x =       4/3

หรือ         (3x + 4 )   =  0      ; x =    - 4/3

            คำตอบของสมการ คือ       4/3   ,   - 4/3

  เป็นคำตอบของสมการ          9x2 - 16      = 0

 

   

  20. 36x2 - 25  = 0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

                             36x2 - 25  = 0

              (6x  - 5  )( 6x  + 5 )  = 0

จาก  a• b   = 0

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a  หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0  ดังนั้น

เราจะได้ว่า  (6x  - 5  )    =  0      ; x =        5/6

หรือ         (6x  + 5  )   =  0      ; x =      - 5/6

            คำตอบของสมการ คือ       5/6    ,   - 5/6

  เป็นคำตอบของสมการ    (6x  - 5  )( 6x  + 5 )  = 0

 

 

 

  
 
2.   จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้ โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์  
  1. x2+ 8x + 6             =  0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

           2.1 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

 จาก a• b = 0 

สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า

             มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง
ได้

 
                                  คำตอบของสมการ -1  ........(1)


หรือ

              มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง    

ได้


                                  คำตอบของสมการ -2  ........(2)


ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ  x2+ 8x + 6   =  0

 

 

  2. x2+ 10x + 3           =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

 

วิธีทำ

     2.2 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

จาก a• b = 0 
สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า

   มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง 

ได้


                        คำตอบของสมการ -1  ........(1)


หรือ


    มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง



ได้


                         คำตอบของสมการ -2  ........(2)


ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ   x2+ 10x + 3  = 0

 

  

  3. x2+ 4x + 2             =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

         2.3 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

 จาก a• b = 0 


สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า


                             มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง


ได้   


                          คำตอบของสมการ -1  ........(1)


หรือ


              มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง


ได้


                          คำตอบของสมการ -2  ........(2)


ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ     x2+ 4x + 2     =  0

 

  

  4. x2+ 6x + 3             =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

      2.4 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

จาก a• b = 0 
สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า


                         มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้   
                      คำตอบของสมการ -1  ........(1)

หรือ
                        มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง  

ได้
                      คำตอบของสมการ -2  ........(2)

ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ     x2+ 6x + 3    =  0

 

  

 

  5. x2+ 8x - 1             =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

   2.5 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

จาก a• b = 0 
สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า

 
                         มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้   
                         คำตอบของสมการ -1  ........(1)

หรือ
                         มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้
                         คำตอบของสมการ -2  ........(2)

ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ     x2+ 8x - 1    =  0

 

 

  6. x2- 4x - 2               =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

    2.6 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

จาก a• b = 0 
สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า

 
                            มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้   
                              คำตอบของสมการ -1    ........(1)

หรือ
                            มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้
                              คำตอบของสมการ -2  ........(2)

ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ     x2- 4x - 2    =  0  

 

 

  7. x2- 6x + 4              =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

    2.7 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์ 

จาก a• b = 0 
สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า

  
                            มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้   
                                คำตอบของสมการ -1    ........(1)

หรือ
                            มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง  

ได้
                                คำตอบของสมการ -2     ........(2)

ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ     x2-6x + 4    =  0    

 

 

 
  8. x2- 10x - 2             =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

      2.8 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

จาก a• b = 0 
สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า

 
                               มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้   
                              คำตอบของสมการ -1  ........(1)

หรือ
                               มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้
                              คำตอบของสมการ -2  ........(2)

ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ     x2-10x - 2    =  0    

 

 

  9. x2+ 5x +1              =  0    
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

      2.9 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

 ลองหาคำตอบดูครับ...

 

  

  10. x2+ 3x +2              =  0     
  

 

กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ

            2.10 แก้สมการโดยทำเป็นสมการกำลังสองสมบูรณ์

จาก a• b = 0 
สมการเป็นจริงได้ต้องมี a หรือ b ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ดังนั้น ถ้า


                           
     มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้   
                                    คำตอบของสมการ -1  ........(1)

หรือ

                                     มีตัวแปร 2 ตัวคูณกันเท่ากับ ศูนย์ ดังนั้นต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ ศูนย์ จึงจะเป็นจริง

ได้
                                 คำตอบของสมการ -2  ........(2)

ได้ (1) และ (2) เป็นคำตอบของสมการ     x2+ 3x + 2    =  0  

 

 

  

 

3.

 

 

จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้โดยใช้สูตร

 

 

   
 

 

1.

 

x2 - 4x - 21      =  0 

    
 

 

     กดที่แถบเพื่อดูเฉลย  ↓

 

วิธีทำ

      หาค่าตัวแปรโดยใช้สูตร   จาก สมการ  สมการกำลังสอง

 

 หาค่า x จากสูตร                    แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

   

                      จากโจทย์   a = 1     , b = -4      ,    c =  -21

ทำการแทนค่า ในสมการ

                 แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

                 รากของสมการที่ได้จากการแทนค่าในสูตร

ดังนั้น เราจะได้  คำตอบคือ

                คำตอบของสมการ -1      ........(1)

 

                คำตอบของสมการ -2      ........(2)

 

 

 

 

 

2. x2               =  4x     
   

 

     กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ

      หาค่าตัวแปรโดยใช้สูตร   จาก สมการ  สมการกำลังสอง

 หาค่า x จากสูตร             แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

   

           จากโจทย์   a = 1     , b = -4      ,    c =  -21

ทำการแทนค่า ในสมการ

                 แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

                 รากของสมการที่ได้จากการแทนค่าในสูตร

ดังนั้น เราจะได้  คำตอบคือ

                คำตอบของสมการ -1

                คำตอบของสมการ -1

 

 

 
 

 

3.

 

 

x2 - 2x          =  6 

   
   

 

 

       กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ                                สมการกำลังสอง

หาค่าตัวแปรโดยใช้สูตร   จาก สมการ  สมการกำลังสอง

หาค่า x จากสูตร             แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

 

             จากโจทย์   a = 1     , b = -2     ,    c =  - 6

ทำการแทนค่า ในสมการ

                 แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

                 คำตอบของสมการ -1

ดังนั้น เราจะได้  คำตอบคือ

                 คำตอบของสมการ -1

 

 

 
 

 

4.

 

 

3x2 + 2x - 3    =  0 

    
   

 

       กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ                                    สมการกำลังสอง

หาค่าตัวแปรโดยใช้สูตร   จาก สมการ       สมการกำลังสอง

หาค่า x จากสูตร             แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

 

                  จากโจทย์   a = 3    , b = 2     ,    c =  - 3

ทำการแทนค่า ในสมการ*

                แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

                 รากของสมการที่ได้จากการแทนค่าในสูตร

ดังนั้น เราจะได้  คำตอบคือ

                 คำตอบของสมการ

                 คำตอบของสมการ  ........(คำตอบ)

 

 
 

 

5.

 

 

2x2 + 4x      =  1    
   

 

       กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

 

วิธีทำ                                 แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

หาค่าตัวแปรโดยใช้สูตร   จาก สมการ     สมการกำลังสอง

หาค่า x จากสูตร             แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

 

                     จากโจทย์   a = 2    , b = 4     ,    c =  - 1

ทำการแทนค่า ในสมการ*

                 แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

                 คำตอบของสมการ

ดังนั้น เราจะได้  คำตอบคือ

                 คำตอบของสมการ

 

 

 
 

 

6.

 

 

2x2             =  x + 2

   
   

 

       กดที่แถบเพื่อดูเฉลย ↓

 

 

วิธีทำ       

                                     สมการกำลังสอง

หาค่าตัวแปรโดยใช้สูตร   จาก สมการ   สมการกำลังสอง

หาค่า x จากสูตร             แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

 

                จากโจทย์   a = 2    , b = - 1     ,    c =  - 2

ทำการแทนค่า ในสมการ*

                 แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

                 รากของสมการที่ได้จากการแทนค่าในสูตร

ดังนั้น เราจะได้  คำตอบคือ

                 คำตอบของสมการ-1  ........(1)

และ

                 คำตอบของสมการ-2   ........(2)

 

 

 
 
4.   จงหาความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้  
  1.

หาความยาวโดยใช้ ทฤษฏีบท พีทาโกลัส

 

   
  2.

หาความยาวโดยใช้ ทฤษฏีบท พีทาโกลัส

 

   
         
  3.

หาความยาวโดยใช้ ทฤษฏีบท พีทาโกลัส

                                                                                                                      

   

     กดที่แถบเพื่อดูเฉลย  ↓

กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 3.3.2 ข้อ 4 

ในข้อนี้ทำการหา ความยาวของสามเหลี่ยมมุมฉาก  โดยใช้ ทฤษฎีบท พี ทา โก รัส

และใช้ สูตรการแก้สมการ กำลังสอง  และ  นำค่าที่ได้แทนในรูป   ที่โจทย์กำหนด 

  

4.  จงหาความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ 

1. 

 

         ทฤษฎีบท พี ทา โก รัส      

วิธีทำ

จากทฤษฏีบทพีทาโกลัส

    ทฤษฏีบทพีทาโกลัส


    จากสมการ x2- 8x - 40 = 0

    หาค่า x จากสมการโดยใช้สูตร

    ได้ ค่า a = 1 , b = - 8 , c = - 40

                   แทนค่าในสูตร หารากของสมการกำลังสอง 

    ทำให้เราสามารถหาค่า ของ x ได้สองค่าคือ

  1.  ถ้า         ความยาว ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก      นำมาเแทนค่าในรูปจะได้

        สามเหลี่ยมมุมฉาก

   2.  ถ้า           ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก      นำมาเแทนค่าในรูปจะได้ 

        สามเหลี่ยมมุมฉาก 

 

2.

        สามเหลี่ยมมุมฉาก 

จากทฤษฏีบทพีทาโกลัส 

            ทฤษฏีบทพีทาโกลัส       

 

           จากสมการ   x2- 8x - 32    =   0

      หาค่า x จากสมการโดยใช้สูตร 

     ได้ ค่า a = 1 , b = - 8 , c = - 32

                   แทนค่าลงในสูตร หารากของสมการกำลังสอง 

 

    ทำให้เราสามารถหาค่า ของ x ได้สองค่าคือ

  1.  ถ้า        ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก    นำมาเแทนค่าในรูปจะได้

        สามเหลี่ยมมุมฉาก 

  2.  ถ้า       ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก    นำมาเแทนค่าในรูปจะได้ 

        สามเหลี่ยมมุมฉาก

 
 

3.

        สามเหลี่ยมมุมฉาก

 จากทฤษฏีบทพีทาโกลัส

        ทฤษฏีบทพีทาโกลัส

 

                  จากสมการ 2x2 - 3x - 4     = 0 

                   หาค่า x จากสมการโดยใช้สูตร 

                  ได้ ค่า a = 2 , b = - 3 , c = - 4

 

                แทนค่าในสูตร หารากของสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

    ทำให้เราสามารถหาค่า ของ x ได้สองค่าคือ

  1.  ถ้า       ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก      นำมาเแทนค่าในรูปจะได้

        สามเหลี่ยมมุมฉาก 

  2.  ถ้า      ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก       นำมาเแทนค่าในรูปจะได้ 

         สามเหลี่ยมมุมฉาก

     ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เราอย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน Facebook

 

5.     
   

     สมการกำลังสอง

ถ้ากล่องกระดาษในรูปมีความจุ  320  ลูกบาศก์เซนติเมตรโดยที่ฐาน

ของกล่องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาความกว้างของกล่องใบนี้

 
   

 

 
6.    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

กล่องในรูปที่ (1) ทำจากกระดาษ ในรูปที่ (2) ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ

สมการกำลังสอง   สมการกำลังสอง

x2 +4ax ดังในตาราง

หาค่าสมการกำลังสอง 

 

     กดที่แถบเพื่อดูเฉลย  ↓

กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 3.3 ข้อ 5-6  ในแบบฝึกหัดนี้ ทำการหาค่าตัวแปร

จากสมการ กำลังสองโดยเป็นการแทนค่าปริมาตร ของสี่เหลี่ยมทรงลูกบาศก์

  

    หาปริมาตร

ถ้ากล่องกระดาษในรูปมีความจุ· 320· ลูกบาศก์เซนติเมตรโดยที่ฐาน

ของกล่องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาความกว้างของกล่องใบนี้

 

วิธีทำ

เราทราบกันดีว่า ปริมาตรของ รูปลูกบาศก์สี่เหลี่ยม คิอ 

ปริมาตร    =  กว้าง  x  ยาว  x  สูง

แทนค่า 

   320     =    x   x  x  x  5

    320    =    5x2

      64    =    x2

          x    =    ± 8 

ค่าของ   x   ที่ได้มีทั้งค่าบวกและลบ 

เมื่อ      x = ความกว้างของกล่องจึงได้คำตอบคือ  8 

 

 6.   กล่องในรูปที่ (1) ทำจากกระดาษ ในรูปที่ (2) ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับ        

    หาพื้นที่ฐานของกล่อง

    พื้นที่  คือ ด้าน x ด้าน

x2 +4ax ดังในตาราง

    แทนค่าลงใน สมการกำลังสอง

 

วิธีทำ    

1. · เมื่อ ·a = 1/4 · · และ สมการเท่ากับ   20

                      หาความกว้างของกล่อง

 

2.   เมื่อ  a = 1     และ สมการเท่ากับ  165

            หาความกว้างของกล่อง

   3.   เมื่อ  a = 1/2     และ สมการเท่ากับ  80   

              หาความกว้างของกล่อง

    ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่มถูกใจบน Facebook 

 

7.

 

 

 

 

ถ้าความสูง (h) ของลูกเทนนิส เมื่อวัดจากพื้นขณะที่นักกีฬาตี

ลูกเทนนิสขึ้นไปนาน t  วินาที หาได้จากสูตร  h = 1 + 15t - 5t2

อยากทราบว่านานเท่าใดหลังจากที่นักกีฬาตีลูกเทนนิส ลูกเทนนิส

จึงจะอยู่สูงจากพื้นดิน  10  เมตร

 
   

 

 

8.

 

 

 

 

 

ต้นทุนในการผลิตสินค้า ของบริษัทแห่งหนึ่ง  600x  - 5x2 บาท

เมื่อราคาต้นทุนสินค้าราคาต่อหน่วยคือ  x บาท ถ้าต้นทุนสินค้า

ต่อหน่วย มากว่า  50 บาท และบริษัทต้องการกำไร จากสินค้า

ชิ้นละ  25%  จะต้องขายสินค้าในราคาชิ้นละเท่าใด ถ้ามี

ต้นทุนในการผลิต เท่ากับ   16,000  บาท                                                                                                             

 

     กดที่แถบเพื่อดูเฉลย  ↓

กุญแจคณิตศาสตร์แบบฝึกหัด 3.2 ข้อ 7-8   

ในแบบฝึกหัดข้อนี้นำสมการกำลังสองตัวแปรเดียว มาประยุกต์ร่วมหา

ความสูงของลูกบอล และต้นทุนการผลิตสินค้า  

   7.    ถ้าความสูง (h) ของลูกเทนนิส เมื่อวัดจากพื้นขณะที่นักกีฬาตี

ลูกเทนนิสขึ้นไปนาน t วินาที หาได้จากสูตร h = 1 + 15t - 5t2

อยากทราบว่านานเท่าใดหลังจากที่นักกีฬาตีลูกเทนนิส ลูกเทนนิส                                  

จึงจะอยู่สูงจากพื้นดิน 10 เมตร
 
 

วิธีทำ

 จากสมการที่โจทย์กำหนด  

                     1 + 15t - 5t2  =  h      แทนค่า  h 

               แบบฝึกหัดสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

หาค่าตัวแปรโดยใช้สูตร   จาก สมการ  สมการกำลังสอง

 หาค่า x จากสูตร             สูตร หารากสมการกำลังสอง

จากสมการ ได้ค่า  a = 5 , b = -15  , c = 9  

ทำการแทนค่า ในสมการ

                 แบบฝึกหัดสมการกำลังสองตัวแปรเดียว  

                 คำตอบของสมการ

ดังนั้น เราจะได้  คำตอบคือ

                 คำตอบของสมการ  

ได้คำตอบ         

                 คำตอบของ สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

  

8.   ต้นทุนในการผลิตสินค้า ของบริษัทแห่งหนึ่ง      600x - 5x2      บาท  

เมื่อราคาต้นทุนสินค้าราคาต่อหน่วยคือ x บาท ถ้าต้นทุนสินค้า ต่อหน่วย

มากกว่า 50 บาท และบริษัทต้องการกำไร จากสินค้า ชิ้นละ 25%

จะต้องขายสินค้าในราคาชิ้นละเท่าใด

ถ้ามีต้นทุนในการผลิต เท่ากับ 16,000 บาท
 

 
 

วิธีทำ   หาสมการต้นทุนของการผลิต

   แบบฝึกหัดสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ได้ค่า x  จากสมการคือ  80 , 40

  ดังนั้นจากโจทย์ กำหนดให้ต้นทุนมากกว่า 50 บาท

ดังนั้น ค่าที่ใช้ได้จากสมการมี ตัวเดียวคือ  80  บาท

และบริษัทต้องการกำไร จากสินค้า ชิ้นละ 25%     

จะต้องขายสินค้าในราคาชิ้นละเท่าใด 

ดังนั้นจะได้ว่า

ต้นทุนการผลิต  100  บาทต้องการกำไร 25% ต้องขายราคา           125     บาท

ต้นทุนการผลิต    80  บาท ต้องการกำไร 25%

 

ต้องขายราคา   =     คำตอบของสมการ   บาท 

 
     ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน Facebook   

   

 

9.

 

 

ถ้าผลคูณของจำนวนคี่บวก ที่เรียงติดกัน สองจำนวนคือ  35

จงหาจำนวนทั้งสอง

 

 

    กดที่แถบเพื่อดูเฉลย  ↓

 

วิธีทำ

                       แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

จากโจทย์  เราต้องการหา ผลคูณของจำนวนคี่บวก ที่เรียงติดกัน สองจำนวน

ดังนั้น เราจึงสนใจเฉพาะ จำนวนบวกเท่านั้น คือ  x = 5

เมื่อนำไปแทนค่าสมการได้สมการที่เป็นจริง

                    5  (5 + 2) = 5 x 7  = 35

             จำนวนคี่บวก ที่เรียงติดกัน สองจำนวนคือ   5  และ 7                       

  

 
10.   จงอธิบายพร้อมยกตัวอย่าง   
 

1. ถ้า   x2+ 10x + c    =   0   และ    c  <   0

สมการข้างต้นจะมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2  คำตอบ

 

 
 

2.  ถ้า   x2+ 10x + c    =   0   และ    c  >  0

สมการข้างต้นจะมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2  คำตอบ

 

 
 

3.  ถ้า   x2+ bx + 9    =   0   และ    b >  6

สมการข้างต้นจะมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2  คำตอบ                                       

 

 

     กดที่แถบเพื่อดูเฉลย  ↓

กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 3.3.2 ข้อ 10

ในแบบฝึกหัดสมการกำลังตัวแปรเดียวนี้   เป็นการหาคำตอบโดยใช้สูตร

เพื่อแสดงว่า สมการกำลังสอง ที่กำหนดมาให้เป็นจริง  

10. จงอธิบายพร้อมยกตัวอย่าง 
 

1. ถ้า    x2+ 10x + c = 0     และ c < 0  

สมการข้างต้นจะมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ

วิธีทำ

โจทย์ให้สมการ        x2+ 10x + c = 0  และกำหนด ให้   c < 0  

ให้เรายกตัวอย่าง  ว่าสมการที่กำหนดให้เป็นจริงคือมี  2 คำตอบ

เราหาคำตอบของสมการโดย แทนค่าในสูตร  

 หาค่าตัวแปรโดยใช้สูตร   จาก สมการ       สมการกำลังสอง

 หาค่า x จากสูตร                             สมการกำลังสอง                             

            จากโจทย์   a = 1     , b = 10     

         ,   เราเลือก  c < 0 มา หนึ่งตัวคือ =  -2

                  ทำการแทนค่า ในสมการ

                 แบบฝึกหัดสมการกำลังตัวแปรเดียวโดยใช้สูตร  

                 แบบฝึกหัดสมการกำลังตัวแปรเดียวโดยใช้สูตร

ดังนั้น เราจะได้  คำตอบคือ

                 คำตอบของสมการ              

ดังนั้นเราสรุปได้ว่า สมการข้างต้นมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ

 

2. ถ้า x2+ 10x + c = 0 และ c > 0  

สมการข้างต้นจะมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ

ลองทำดูนะครับ 

 

3. ถ้า x2+ bx + 9 = 0 และ b > 6  

สมการข้างต้นจะมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ 

ลองทำดูนะครับ  

 

ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน Facebook 

  

 

    
11.   ถ้าระยะการเบรคของรถคันหนึ่งแทนด้วยสูตร    โจทย์ประยุกต์ การแก้สมการกำลังสอง

มีหน่วยเป็น  กิโลเมตร/ชั่วโมง จงหาระยะเบรกของรถคันนี้

 

เมื่อรถคันนี้วิ่งด้วย อัตราเร็ว

 

1) 40  กิโลเมตร/ ชั่วโมง       2)  100  กิโลเมตร/ชั่วโมง

 

 
  

 

 

     กดที่แถบเพื่อดูเฉลย  ↓

 

 

 

วิธีทำ

1. หาระยะเบรกของรถคันนี้ เมื่อรถคันนี้วิ่งด้วย อัตราเร็ว  40 กิโลเมตร

 จากสูตร  แทนค่า   s = 40  

                    โจทย์ประยุกต์ การแก้สมการกำลังสอง

2. หาระยะเบรกของรถคันนี้ เมื่อรถคันนี้วิ่งด้วย อัตราเร็ว  40 กิโลเมตร

 จากสูตร  แทนค่า   s = 100

                    โจทย์ประยุกต์สมการกำลังสอง -2

 

  

 

 

12.   ถ้าป้ายแปดเหลี่ยมมีความยาวด้านละ 35 เซนติเมตร ได้จาก

การตัดแผ่นโลหะสี่เหลี่ยม จัตุรัสในภาพ จงหาความยาวด้าน

ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้

 

     กดที่แถบเพื่อดูเฉลย  ↓

กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัด 3.3.2 ข้อ12

ในข้อนี้หาสมการกำลังสองจากโจทย์โดยใช้ทฤษฏีปีทาโกลัส

    12. ถ้าป้ายแปดเหลี่ยมมีความยาวด้านละ  35  เซนติเมตร ได้จาก

การตัดแผ่นโลหะสี่เหลี่ยม จัตุรัสในภาพ จงหาความยาวด้าน

ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้

                     รูปแปดเหลี่ยม                        

 

วิธีทำ

                            ทฤษฏีปีทาโกลัส

            ได้สมการ       x2    +    x2  =    352  

                                      2x2     =    1225

                                           x  =     24.75

เมื่อเรารู้ค่า x แล้ว ดูที่รูปสี่เหลี่ยมใหญ่ ด้านแต่ละด้านมีความยาวเท่ากับ                     

·· ด้านของสี่เหลี่ยม                         =     x   +   x   +   35

                                              =     24.75 + 24.75  +35

                                              =     84.5       เซนติเมตร

                 ต้องตัดโลหะด้านละ               84.5       เซนติเมตร

     ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เราอย่าลืมกดปุ่ม ถูกใจ บน Facebook

  

 

     ชอบแล้ว เป็นกำลังใจให้เรา อย่าลืมกดปุ่ม  ถูกใจ  บน Facebook